Ana Sayfa

Ana Sayfa

letişim

İletişim

KPSS Dershanesi Logo Anasayfa

KPSS Genel Kültür

KPSS Genel Yetenek

KPSS Eğitim Bilimleri

KPSS Haberleri

KPSS Eğitim Videoları

KPSS A Grubu Hazırlık

KPSS VCD Eğitim Setleri

KPSS Genel Kültür Genel Yetenek Eğitim Seti KPSS Eğitim Bilimleri Eğitim Seti KPSS Genel Kültür Kitapları - Genel Yetenek Kitapları- Eğitim Bilimleri Kitapları KPSS Eğitim Marketi


KPSS Geometri Konu BaşlıklarıKPSS Geometri Konu Başlıkları KPSS Geometri Konu Özetleri KPSS Geometri Çember ve Daire

Çember ve Daire

 

 TEMEL TANIMLAR :
 

Çember : Düzlemde (R2) sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi (Geometrik yeri)dir.
 

1. Çember bir noktalar kümesidir.
2. Çemberin iç bölgesi (Dairesel kısım) konvextir.
3. Çember ve çemberin dış bölgeleri konvex değildir.
4. Çember içinde bulunduğu düzlemi iki ayrık bölgeye ayırır.
 

 

Düzlemde Bir Nokta ya da Doğrunun Çembere Göre Durumu :
 

 

Düzlemde bir doğru ya da doğrunun elemanı olan herhangi bir nokta çembere göre üç temel durumda yer alır.
 

 

Düzlemde Bir Nokta ya da Doğrunun Çembere Göre Durumu :

 

 

Çemberin Yardımcı Elemanları :
 

 

A) Kesen : Bir çemberi farklı iki noktada kesen AB veya d doğrusuna çemberin keseni denir.
 

 

Kesen

 

 

B) Kiriş : Çemberin üzerindeki iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasıdır. ([AB] kirişi vb.)
 

 

Kiriş

 

 

Kiriş Özellikleri :
 

 

1. Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ve yayını ortalar.
 

 

Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ve yayını ortalar.

 

 

Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ve yayını ortalar.

 

 

2. Merkezden eşit uzaklıkta olan kirişler ve yayları eşittir.
 

 

Merkezden eşit uzaklıkta olan kirişler ve yayları eşittir.

 

 

3. Kirişler merkeze yaklaştıkça uzunlukları artar. En uzun kiriş ÇAP'tır.
 

 

Kirişler merkeze yaklaştıkça uzunlukları artar. En uzun kiriş ÇAP'tır.

 

 

4. Paralel iki kirişin arasında kalan yaylar eşittir.
 

 

Paralel iki kirişin arasında kalan yaylar eşittir.

 

 

Paralel iki kirişin arasında kalan yaylar eşittir.
 

 

5. Çember içindeki bir noktadan geçen en kısa kiriş o noktada çapa dik olandır.
 

 

[OP] ^ [AB] ^ [OP] [CD] Û |AB| < |CD|
 

 

[OP] ^ [AB] ^ [OP] [CD] Û |AB| < |CD|      

 

 

C) Yay : Çember üzerindeki iki farklı noktanın arasında kalan tüm noktalar kümesidir.
 

 

D) Teğet : Bir doğrunun çembere bir noktada değmesi halidir.
 

 

Teğet

 

 

Teğet Özellikleri :
 

 

1. Yarıçap teğete değme noktasında diktir.
 

 

2. Bir çembere dışındaki bir noktadan en çok iki teğet çizilir ve teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
 

 

2. Bir çembere dışındaki bir noktadan en çok iki teğet çizilir ve teğet parçalarının uzunlukları eşittir.

 

 

Teğetler Dörtgeni :
 

 

Karşılıklı kenarlarının uzunlukları toplamı eşittir. (Kare, eşkenar dörtgen ve deltoid teğetler dörtgenidir.)
 

 

|AB| + |DC| = |AD| + |BC| = u
Alan (ABCD) = u . r
 

 

|AB| + |DC| = |AD| + |BC| = u

 

 

İki Çemberin Birbirine Göre Durumları :
 

 

a) Ayrık :
 

 

Ayrık
 

 

Ayrık 2

 

 

b) Dıştan Teğet
 

 

Dıştan Teğet
 

 

Dıştan Teğet

 

 

c) Kesişme Hali
 

 

Kesişme Hali

 

 

d) İçten Teğet
 

 

İçten Teğet

 

 

e) Alt Küme (İç içe) Hali
 

 

Alt Küme (İç içe) Hali

 

 

f) Dik Kesişen Çemberler.
 

 

Kesişme noktaları olan K ve K' nden ve merkezlerinden geçen teğetler birbirine dik ise iki çember dik kesişirler.
 

 

Dik Kesişen Çemberler

 

 

Dik Kesişen Çemberler 2

 

 

İki Çemberin Ortak Teğetleri
 

 

a) Ortak Dış Teğet Parçasının Uzunluğu (d)
 

 

Ortak Dış Teğet Parçasının Uzunluğu (d)

 

 

Ortak Dış Teğet Parçasının Uzunluğu (d)  2

 

 

b) Ortak İç Teğet Parçasının Uzunluğu (d)
 

 

Ortak İç Teğet Parçasının Uzunluğu (d)

 

 

Ortak İç Teğet Parçasının Uzunluğu (d)  2

 

 

Üçgenin Çemberleri
 

 

1. İç Teğet Çember : (İçaçıortayların kesim noktasıdır.)
 

 

İspat :
 

 

İç Teğet Çember

 

 

|AD| = (u-a)
|AF| = |AD| = x
diyelim.
|BD|=|BE|=(c-x)
|CF|=|CE|=(b-x)
|BC|=a=(c-x)+(b-x)
2x=b+c-a (sağ tarafa
a ekleyip a çıkartalım)
2x=a+b+c-2a
İç Teğet Çember

x=u-a
 

 

|AD| = |AF| = (u-a)
|BD| = |BE| = (u-b)
|CE| = |CF| = (u-c)
 

 

İspat : "Açıortay üzerinde alınan bir noktanın (O) açının kollarına olan uzaklıkları eşittir." teoremini kullanarak
|OF| = |OE| = |OD| elde edilir.
Düzlemde bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan (O noktasından r uzaklıkta bulunan D, E, F noktaları) en az üç nokta bir çember belirler özelliği de bize ABC üçgeninin içteğet çemberinin O merkezli r yarıçaplı çember olduğunu ispatlar.
 

 

2. Dış Teğet Çember : (İki dış açıortay ve üçüncü açının iç açıortayının kesim noktasıdır.)
Dışteğet çemberlerin yarıçapları ve içteğet çemberin yarıçapı r ise;

Dış Teğet Çember  

bağıntısı vardır.
 

 

|AE| = |AF| = u
|AB| = c
|AC| = b
|BC| = a
|BD| = |BE| = (u-c)
|CD| = |CF| = (u-b)
 

 

Dış Teğet Çember

 

İspat :
|BE| = |BD| = (u-c) = x
|CF| = |CD| = (u - b) = y alalım.
x+y =a dır.
c+x = b+y = |AE| = |AF| dir.
her iki tarafa y ekleyelim.
c + x + y = b + 2y Şc + a - b = 2y
(Sol tarafa "b" ekleyip çıkaralım.)

a + b + c - 2b = 2y

y=(u-b)
 

 

3. Çevrel Çember : (Merkezi; üçgenin kenarorta
dikmelerin kesim noktasıdır. Yarıçapı R dir.)
Bu özelliğin ispatını "Merkezden kirişe indirilen
dikme kirişi ve yayını ortalar." teoremiyle yapabilirsiniz.
 

 

Çevrel Çember

 

 

Kural : BAC açısının açıortayı olan [AD] ile [BC] kenarının kenar orta dikmesi olan [OD], D noktasında kesişir.
 

 

İspat : "Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ve yayını ortalar ve Aynı yayı gören çevre açılar
 

 

(BAD) ve (CAD) eşittir." kuralını hatırlayınız.
 

 

İspat

Kural :
 

 

Kuralk

 

İspat :
 

 

Ispat

 

 

Çemberde Açılar :
 

 

1. Merkez Açı :
 

 

Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır.
Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
 

 

Merkez Açı

 

 

Merkez Açı  2

 

 

2. Çevre Açı :
 

Köşesi çember üzerinde olan ve kolları çemberi kesen açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır. Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.

 

Çevre Açı Çevre Açı  2

 

 

İspat :
 

 

[AO ışını ile açısını iki parçaya ayıralım. merkez açısının gördüğü yayı gören çevre açısı onun yarısı olur.
 

 

İspat :

 

 

Kural :
 

 

Çapı gören çevre açı 90° dir.
 

 

Çapı gören çevre açı 90° dir.

 

 

3. Teğet-Kiriş Açı :
 

 

Köşesi çember üzerinde olup, bir kolu çemberin o noktadaki teğeti, diğer kolu o noktadan geçen kirişi olan açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.
 

 

Teğet-Kiriş Açı Teğet-Kiriş Açı 2

 

 

İspat :
 

 

[OA] yarıçap çizilirse;
 

 

Teğet-Kiriş Açı 3

 

 

Teğet-Kiriş Açı 4

 

 

4. İç Açı :
 

Çemberin iç bölgesinde kesişen iki kiriş arası açıdır. Ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısıdır.
 

 

İç Açı

 

 

İç Açı 2

 

İspat :
 

A ve C noktalarını birleştirelim. m ve n çevre açıları
CyD ve AxB yaylarını görür.
AEC üçgeninde "iki iç açı eşittir, bir dış açı" kuralından ;
 

 

AEC üçgeninde "iki iç açı eşittir, bir dış açı" kuralından ;

 

 

5. Dış Açı :
 

Ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısıdır.

 

Dış Açı

 

 

Dış Açı

 

İspat :
 

 

Dış Açı 3

 

 

 

Kural :
 

 

Kural :

 

 

Kural : Formül

 

 

Kural :
 

Aynı yayları gören iç ve dış açıların toplamı gördükleri büyük yayın ölçüsüne eşittir.
Aynı yayları gören iç ve dış açıların farkı gördükleri küçük yayın ölçüsüne eşittir.
Aynı yayları gören iç ve dış açıların toplamı gördükleri büyük yayın ölçüsüne eşittir.

 

 

Aynı yayları gören iç ve dış açıların toplamı gördükleri büyük yayın ölçüsüne eşittir.

 

 

Kirişler Dörtgeni :
 

 

Kirişler Dörtgeni :

 

 

Karşılıklı açılarının toplamı eşittir. (180°)
- Kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk kirişler dörtgenidirler.
- e ve f dörtgenin köşegenleri ise;
Kirişler Dörtgeni :

a.c + b.d = e.f bağıntısı vardır.

ise;
 

 

Noktanın Çembere Göre Kuvveti :
 

1. Çemberdışı bir noktanın kuvveti :
 

 

 Çemberdışı bir noktanın kuvveti :

 

Kuvvet = |PT| = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|
- Kuvvet vektörel bir nicelik olarak alınırsa, çember dışı bir noktanın kuvveti pozitiftir.
 

 

İspat :
 

 

İspat :

 

 

PTO dik üçgeninden Kuvvet = |PT| = |PO|-r > 0
 

İspat :
 

 

ABDC kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.
 

 

ABDC kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.

 

 

ABDC kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.

 

 

2. Çember üzeri bir noktanın kuvveti O dır.
3. Çember içindeki bir noktanın kuvveti
 

 

|PA| . |PB| = |PC| . |PD|
- Kuvvet vektörel bir nicelik olarak alınırsa çember
içi bir noktanın kuvveti negatiftir.
 

 

|PA| . |PB| = |PC| . |PD|

 

 

İspat :
Kuvvet = |PO| - r idi
(Kuvvet : Nokta merkez arası uzaklığın karesinden
yarıçapın karesi çıkarılarak bulunur.)
POD dik üçgeninden,
Kuvvet = |PD| = |PO| - r < 0
|PD| = |PC| olduğundan;
Kuvvet = |PD| . |PC| = |PA| . |PB| = |PD| - r < 0
 

 

Kuvvet = |PD| . |PC| = |PA| . |PB| = |PD| - r < 0

 

İspat : Çevre açıları eşliğinden;
 

 

İspat : Çevre açıları eşliğinden;

 

 

İspat : Çevre açıları eşliğinden;

 

 

İki Çemberin Kuvvet Ekseni :
 

 

İki çembere göre aynı kuvvette olan noktaların kümesi olan doğruya denir. Çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir.
 

 

a)
 

 

İspat : Çevre açıları eşliğinden; 2

 

 

b) |PT| = |PT'| = |PA| . |PB|
 

 

|PT| = |PT'| = |PA| . |PB|

 

 

c)
 

 

|PT| = |PT'| = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|

 

 

|PT| = |PT'| = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|
 

 

d) |PT| = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|
 

 

|PT| = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|

 

Üç Çemberin Kuvvet Merkezi :
 

 

Üç çemberin ikişer ikişer kuvvet eksenlerinin kesim noktasıdır.
 

 

Üç Çemberin Kuvvet Merkezi :

 

 

Üç Çemberin Kuvvet Merkezi :  2

 

 

Üç Çemberin Kuvvet Merkezi : 3

 

 

Üç Çemberin Kuvvet Merkezi : 4

 Üç Çemberin Kuvvet Merkezi : 5

 

 

Daire Dilimi (Kesmesi) Alanı :
 

 

Daire Dilimi (Kesmesi) Alanı :

 

 

Daire Dilimi (Kesmesi) Alanı :

 

 

 

 

Daire Parçası Alanı :
 

 

Daire Parçası Alanı :

 

 

Daire Parçası Alanı : Formül

 

 

Daire Halkası Alanı :
 

 

Daire Halkası Alanı :

 

 

Daire Halkası Alanı : Formül

 

 

Halka Dilimi Alanı :
 

 

Halka Dilimi Alanı :

 

  

Halka Dilimi Alanı : Formül