Ana Sayfa

İletişim

KPSS Genel Kültür

KPSS Genel Yetenek

KPSS Eğitim Bilimleri

KPSS Haberleri

KPSS Eğitim Videoları

KPSS A Grubu Hazırlık

KPSS VCD Eğitim Setleri

KPSS Geometri Konu Başlıkları KPSS Geometri Dörtgenler

Dörtgenler

DÖRTGENLER

Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir. A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir. ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC]köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

     m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=360⁰

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

     m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=360⁰

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır. X= ‘dir. (Şek.2)

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır. X=(Şek.3)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC][DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

         A(ABCD)= e. f. sin  (Şek.4)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S₁.S₃ = S₂.S₄ tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir.(Şek.6)

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.7)

 İSPAT: ADC üçgeninde  [AC]² =[DA]² + [DC]²

              ABC üçgeninde   [AC]² =[AB]² + [BC]²           Buradan;

               [AB]² + [BC]² = [DC]² + [DA]² elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.8)

 İSPAT: AOB üçgeninde [AB]² = [AO]² + [BO]²   DOC üçgeninde [DC]² = [DO]² + [OC]² taraf tarafa toplanırsa

                 [AB]² + [DC]² = [AO]² + [DO]² +[BO]² +[OC]² (1)

              AOD üçgeninde [AD]² = [AO]² + [DO]²   BOC üçgeninde [BC]² = [BO]² + [OC]² taraf tarafa toplarsak

                [AD]² + [BC]² = [AO]² +[DO]² + [BO]² + [OC]² (2)

(     1)     ve (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

                [AB]² + [CD]² = [BC]² + [DA]²

 *Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır.(Şek.9)

İSPAT: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC] nin orta noktalarıdır.

               CAB üçgeninde EH // BC        CDB üçgeninde GF // BC  ise EF // GF (1)

               DAC üçgeninde GH // DA       DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(     1)     ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.

*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

         [PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

 İSPAT: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

         [PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

 Not: P noktası köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda  [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

 *ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

          ‘dir. (Şek.11)

İSPAT: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

ABD üçgeninde kenarortay teoremine göre         (1)

DBC üçgeninde kenarortay teoremine göre           (2)

(1) ve (2)’den                                                2 (m²+n²)=a²+b²+c²+d²-f²   (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre ’dir. Buradan  4x² = 2(m²+n²) -e² yazılabilir. 2(m²+n²)   yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak    4x² = a²+b²+c²+d²-f²-e² olur. Buradan da   

         bulunur.