Ana Sayfa

Ana Sayfa

 letişim

İletişim
KPSS Dershanesi Logo Anasayfa

KPSS Genel Kültür

KPSS Genel Yetenek

KPSS Eğitim Bilimleri

KPSS Haberleri

KPSS Eğitim Videoları

KPSS A Grubu Hazırlık

KPSS VCD Eğitim Setleri
KPSS Genel Kültür Genel Yetenek Eğitim Seti KPSS Eğitim Bilimleri Eğitim Seti KPSS Genel Kültür Kitapları - Genel Yetenek Kitapları- Eğitim Bilimleri Kitapları KPSS Eğitim Marketi


KPSS Matematik Konu Başlıkları KPSS Matematik Konu Özetleri  KPSS Matematik KPSS Matematik Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma

Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma

 

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA ( I )

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir.

                       Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar  Asal polinomlar  denir.

*  P(x) = x2 + 4 ,  Q(x) = 3x2 + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

      Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

      P(x) = x2 + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 *  a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4      b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2   özdeşlik

     c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2     özdeşlik değildir.

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

I)    Tam Kare Özdeşliği:

            a)     İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

            b)       İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin  karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

           c)       Üç Terim Toplamının Karesi:   (a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)    şeklindedir.

 

II)    İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

       a)       İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 b)    İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3

Birinci terimin küpü;() birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,() ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

 Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli  lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

 III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2

  İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir 

IV)    xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

   i)   İki küp Toplam veya Farkı :   a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

                                                        a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

  ii)                                        a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

                                             a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

 iii)                           a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

                                 a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

  iv)               a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

                     a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

   v)     a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

           a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

       1)           x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy

       2)           x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

 3)        (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

 4)        (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

 5)        x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

 6)        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y) 

 7)        x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

   1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?                                                                   

        x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy       2ab = 289 – 145

              145 =  (17)2 – 2ab          2ab = 144        ab = 72     C= 72

  2)   a – b = 6            (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab       (a + b)2 = 44

        a . b = 2                          = ( 6 )2  + 4.2             (a + b) =  

        a + b = ?                         =  36 + 8                                =

  3)   a – 2b = 3  ise;  a2 + 4b2 = ?    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

        a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

  4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab    4 ab = 108

        a – b = 6                               ( 12 )2 = ( 6 )2  + 4ab           ab = 27

  5)    ise;     x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

              20

  6)  ise;               

                            Ç = {- 4 , 4}

   7)   m + n =8                        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 

         m . n = 1                         m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ?                                  = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488      

   8)   a3 – b3 = 50                    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

         a – b = 2 ise;                   a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

         a . b = ?                          50 = 8 + 6ab  6ab = 42ab = 7

 9)     ise;       x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)                                                    

      = ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36

  10)    ise;     x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 

        198

  11)  a + b + c = ?               a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

       ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

       a2 + b2 + c2 = ?                              = 49 – 24 = 25

 12)   ise;         

                        

        = 15

 13)      ise;                       C = 120

 14)      ise;                       C = 63

 15)    ise;                   C = 154

 16)    ise;                     C = 75

 17)     ise;                          C = 999

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

1)       Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :    Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.   Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır 

     1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız.

     a)  3a + 3b = 3(a + b)             b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

     c)  12x + 9y =3(4x + 3y)       d)  3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)

     e)  3ax + 3ay – 3az                 f)  (a – b) x + 3 (a – b)

     g)  (m – n) – (a + b)(m – n)    h)   – a – b – x2 (a + b)

     ı)   x2(p – 3) + ma2 (3 – p)      i)   1 – 2x + m (2x – 1)

2)       Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :   Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer,   üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

2)  a)  mx + ny + my + nx           b)  xy – xb – yb + b2

     c)  x4 – 4 + 2x3 – 2x                d)  2x2 –3x – 6xy + 9y

     e)  x3 – x + 1 – x2                    f)   x4 – x + x3 – 1

    g)  ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2)     h)  ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

    ı)  mn(zi + y2) + zy (m2 + n2)  i)  a2b2 + 1 – (a2 + b2)

3)       Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :   Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir    a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,         a2 – 2ab + b2 = (a – b)2  

3)  a)  x2 + 4xb + 4b2    b)  4a2 + 12ab + 9b2    c) 4a2b2 – 4abc + c2

4)  a) a2b + 8ab +16b3  b) 2m3 – 28m2 +98m   c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3

4)       İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :  Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu  Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.       a2 – b2 = (a + b) (a – b)

5)  a) 25 – 9a2b2           b) x4 – 1                        c) (m – n)2 – (m + n)2

6)  a) 18x2 – 2y2           b) 2a2b3 – 32b              c) 12x3y – 75xy5

7)  a) 9a2 – 6a +1 – b2  b) x2 – 12x + 36 – 4y2  c)16m2 – n2 – 6n – 9

     d)1 – x2 – 2xy – y2  e) m2 – n2 – 3m + 3n    f) a2 – 25b2 – a + 5b

    g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2               h)  9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2

5)       İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:  a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ,  a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

8)   a) a3 + 8        b) 8 – m3     c) x3 + 1     d) 27a3 – 64   e) x3a3 + b3

9)   a) 81m3 – 3n3        b) 24x3y – 3y               c) 2x + 54x4

10)  a) (x +y)3 – 8         b) a3 + 8(a - b)3               c) (m – n)3 + 1

6)        xn  yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:                         

 11)  a)  x4 + 1  =  (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)

       b)  x4 – 1  =  (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

       c)  x5 + 25 =  (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

       d)  x5 – 1  =  (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)

     7)       Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare  ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12)  4x4 + 7x2 + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

        4x4  +  7x2  + 4  =  4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2  = 4x4 + 8x2 + 4– x2

                                                                  = (2x2 + 2)2 – x2

        2x2               2                                = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)

         2.2x2.2 = 8x2                                 = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)

 

  13)  x2 – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini

                            ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

       x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4  

                                        = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

 14) a)  m2 + 2m – 24        b)  a4 + a2 + 1        c) 16a4 + 4a2b2 + b4

       d)  a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1           (Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )

 

 

8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

      Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız.

 Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı

 Toplamları (+)  “     “     (+) olur  Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur

 Toplamları (–)  “     “      (–) olur  Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur

 

 15)a) x2 + 5x + 6   b) x2 – 5x + 6   c) x2 + 7x + 6     d) x2 – 7x + 6

      e) x2 + 5x – 6    f) x2 – 5x – 6   g) x2 + x – 6        h) x2 – x – 6

      ı) x2 – 7x – 18   i) x4 – x2 – 30  k) m2 – 6m – 27  l) x2 – 3xy – 10y2

      m)  –x2 – 2x + 3        n) x2 – 13x + 30      o) x2 + 2y2– 3xy

 

 

9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

               ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)

               mx            p

                nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)

 16)     6x2 + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.

            3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)

            2x         + 3      

  17) a) 3x2 – 2x – 8            b) 3x2 – 7x + 2       c) 2m2 + 5mn – 12n2      

        d) 8a2 – 2ab – b           e) 4x2 + 21x + 5     f) 36a2 – 33ab – 20b2 

       g) 4m2 + 11m – 3        h) 6a2 + 5a – 6        ı) 12a2 – 8ab – 15b2

         i)  2m2 – 10m + 12        k) 3x2 + 3x – 18      l)  3 n2 + 30n + 48

  18)  a2 + 2ab + b2 = 3     ve   c2 + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?

         c2 + 2ac + 2bc = 6   T.T.T

        a2 + b2 + c2 + 2ab  + 2ac + 2bc = 9(a + b + c)2 = 9  Ç = {-3, 3}

 19) 91) x = 4 , y = 2 ise,  x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ? 

             a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256

       x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32

 20) 97) ,   ise;     a) 6   b) 8   c)10 

      a + b yerine ab yazılırsa

      (a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur.                           a .b  = y   diyelim.

      y2 – 2y – 24 = 0    y – 6) (y + 4) = 0     y = - 4   ve   y = 6

21)            ise,                             C = 8

            olur.  (özdeşlikte yerine yazalım )

22)            ise;                               C = 36

           olur.  (özdeşlikte yerine yazalım )

  23)     ise;                               C = 12

    olur. (yerine yazalım )

  24)   işleminin sonucu kaçtır?

       123 =153 – 30  ve 183 =153 + 30 yazılırsa 

      =153   olur