Ana Sayfa

Ana Sayfa

letişim

İletişim

KPSS Dershanesi Logo Anasayfa

KPSS Genel Kültür

KPSS Genel Yetenek

KPSS Eğitim Bilimleri

KPSS Haberleri

KPSS Eğitim Videoları

KPSS A Grubu Hazırlık

KPSS VCD Eğitim Setleri

KPSS Genel Kültür Genel Yetenek Eğitim Seti KPSS Eğitim Bilimleri Eğitim Seti KPSS Genel Kültür Kitapları - Genel Yetenek Kitapları- Eğitim Bilimleri Kitapları KPSS Eğitim Marketi


KPSS Geometri Konu BaşlıklarıKPSS Geometri Konu Başlıkları KPSS Geometri Konu Özetleri KPSS Geometri Özel Üçgenler

Özel Üçgenler

ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ
Üçgenleri açılarına göre ve kenarlarına göre olmak üzere iki grupta inceleyeceğiz.
a) Açılarına göre üçgen çeşitleri:

Dar Açılı Üçgen: Tüm iç açıları dar açı olan üçgenlere ‘dar açılı üçgen’ denir.

Dar Açılı Üçgen

diküçgen
olduğundan,ABC üçgeni dar açılı bir üçgendir. Dik Üçgen: Bir iç açısının ölçüsü 90o olan üçgenlere ‘diküçgen’ denir.

Dik üçgende dik açının karşısındaki kenara ‘hipotenüs’, dik açının komşusu olan kenarlara ‘dik kenar’ denir.

İkizkenar üçgende, eşit kenarlara ait yükseklik uzunlukları birbirine eşittir.

İkizkenar üçgende

  • İkizkenar üçgende, eşit kenarlara ait açıortay uzunlukları birbirine eşittir.
     

eşit kenarlara ait açıortay

  • İkizkenar üçgende, eşit kenarlara ait kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.
     

eşit kenarlara ait kenarortay uzunlukları

  • Eşkenar Üçgen: Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün iç açıları 60o olan üçgenlere ‘eşkenar üçgen’ denir.
     

Eşkenar Üçgen

  • Eşkenar üçgende, bütün kenarlara ait yükseklikler aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.
     

Eşkenar üçgende, bütün kenarlara ait yükseklikler aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır

  • Eşkenar üçgende, bütün kenarlara ait açıortay, kenarortay ve yükseklik uzunlukları birbirine eşittir.
     

Eşkenar üçgende, bütün kenarlara ait açıortay, kenarortay ve yükseklik uzunlukları birbirine eşittir.

  • DİK ÜÇGEN

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.

şekilde, m(A) = 90°

[BC] kenarı hipotenüs

[AB] ve [AC] kenarları

dik kenarlardır.

 

  • PİSAGOR BAĞINTISI

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

ABC üçgeninde  m(A) = 90°

a2=b2+c2

 

  • ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1. (3 - 4 - 5) Üçgeni

Kenar uzunlukları  (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi

2. (5 - 12 - 13) Üçgeni

Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün  üçgenler dik üçgenlerdir.  (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi.

 Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

3. İkizkenar dik üçgen

ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a  |AC| = aÖ2 

m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende

hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır.

 

4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde

ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)

üçgenleri elde edilir.

|AB| = |AC| = a

|BH| = |HC| = 

pisagordan  

(30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar

hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar,

30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır.

5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni

(30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3  olur.

6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni 

(15° - 75° - 90°) üçgeninde

hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs 

|BC| = 4h olur.  Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört

katıdır.

  • ÖKLİT BAĞINTILARI

Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.

1. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.

h2 = p.k

2.

b2 =  k.a

c2 = p.a

3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

a.h =b.c

  • Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak  elde edilir.

    Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

 

  • İKİZKENAR ÜÇGEN

İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|

|BH| = |HC|

m(B) = m(C)

2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|,

[AH] ^ [BC]

m(B) = m(C)

3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|

m(BAH) = m(HAC)

m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.

5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.

 

|AB| = |AC|  Þ    |LC| = |HP| + |KP|

8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.

EŞKENAR ÜÇGEN

1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.

nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc 

2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik 

Bu durumda eşkenar üçgenin alanı 

yükseklik cinsinden alan değeri

Alan(ABC) = 

3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.

Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

 

4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.

Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde